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Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
13.
Hallar, en cada caso, la función cuadrática $f$ tal que:
b) El intervalo de crecimiento es $(3 ; +\infty)$, su imagen es $[-2 ; +\infty)$ y $f(4)=6$
b) El intervalo de crecimiento es $(3 ; +\infty)$, su imagen es $[-2 ; +\infty)$ y $f(4)=6$
Respuesta
El intervalo de crecimiento es $(3 ; +\infty)$, su imagen es $[-2 ; +\infty)$ y $f(4)=6$
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Tal como vimos en el curso, a partir de los datos del enunciado podemos deducir de la imagen que $y_v=-2$, y del intervalo de crecimiento que $x_v=3$. Con esos datos ya podemos plantear la estructura de la función cuadrática en su fórma canónica:
$f(x)=a(x-x_v)^{2}+y_v $
$f(x)=a (x-3)^{2}+(-2)$
$f(x)=a (x-3)^{2}-2$
Necesitamos reemplazar un punto por el que pase la función $f$ para poder reemplazarlo en la expresión y despejar $a$.
Podemos usae el punto de dato: $f(4)=6$
$6=a (4-3)^{2}-2$
$6=a (1)^{2}-2$
$6+2=a$
$8=a$
Por lo tanto, la función cuadrática es: $f(x)=8 (x-3)^{2}-2$
Si la querés escribir en fórma polinómica podés hacerlo (no te lo recomiendo, no hace falta), pero es cuestión de desarrollar la expresión:
$f(x) = 8 (x-3)^{2}-2$
$f(x) = 8 (x^2-6x+9)-2$
$f(x) = 8x^2-48x+72-2$
$f(x) = 8x^2-48x+70$
Te quedaría así.
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Después sí, hacés la recta y obtenés la ordenada al origen. Y ese punto de la ordenada al origen, que siempre tiene coordenada x=0, va a ser el punto que vas a usar para podés despejar $a$ de la formula de la cuadrática.
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Y lo que dijo Gabi, está perfecto también, y es para plantear los intervalos de crecimiento en f.cuadráticas :D
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