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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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13. Hallar, en cada caso, la función cuadrática ff tal que:
b) El intervalo de crecimiento es (3;+∞)(3 ; +\infty), su imagen es [−2;+∞)[-2 ; +\infty) y f(4)=6f(4)=6

Respuesta

El intervalo de crecimiento es (3;+∞)(3 ; +\infty), su imagen es [−2;+∞)[-2 ; +\infty) y f(4)=6f(4)=6
 
Tal como vimos en el curso, a partir de los datos del enunciado podemos deducir de la imagen que yv=−2y_v=-2, y del intervalo de crecimiento que xv=3x_v=3. Con esos datos ya podemos plantear la estructura de la función cuadrática en su fórma canónica:
f(x)=a(x−xv)2+yvf(x)=a(x-x_v)^{2}+y_v


f(x)=a(x−3)2+(−2)f(x)=a (x-3)^{2}+(-2)


f(x)=a(x−3)2−2f(x)=a (x-3)^{2}-2 

Necesitamos reemplazar un punto por el que pase la función ff para poder reemplazarlo en la expresión y despejar aa.
Podemos usae el punto de dato: f(4)=6f(4)=6 

6=a(4−3)2−26=a (4-3)^{2}-2 


6=a(1)2−26=a (1)^{2}-2 


6+2=a6+2=a 


8=a8=a 



Por lo tanto, la función cuadrática es: f(x)=8 (x−3)2−2f(x)=8 (x-3)^{2}-2 

Si la querés escribir en fórma polinómica podés hacerlo (no te lo recomiendo, no hace falta), pero es cuestión de desarrollar la expresión: 

f(x)= 8 (x−3)2−2f(x) = 8 (x-3)^{2}-2 

f(x)= 8 (x2−6x+9)−2f(x) = 8 (x^2-6x+9)-2 

f(x)= 8x2−48x+72−2f(x) = 8x^2-48x+72-2 

f(x)= 8x2−48x+70f(x) = 8x^2-48x+70 

Te quedaría así.
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camila
25 de septiembre 20:49
hola profe, hay un ejercicio de parcial que no entiendo como resolverlo. Dice "hallar la función cuadrática cuyo gráfico pasa por (3,0) (5,0) y la ordenada al origen coincide con la de la recta que pasa por (1,2) (-2,4)".
Yo pensé que con los dos últimos puntos podría sacar la lineal pero no termino de entender como seguir porque no se de que tipo de cuadrática me pide.
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Julieta
PROFE
2 de octubre 7:16
@camila Hola Cami! El tipo de cuadrática es el que a vos te convenga, la idea del ejercicio es que a partir de los datos puedas deducir cuál te conviene usar. En este caso te hablan de la cuadrática y te dan dos puntos bastante sospechosos porque tienen la coordenada y=0, que son el (3,0) y el (5,0)... Esos dos puntos son raíces de la función cuadrática!! Es decir que te conviene hacer la fórmula factorizada. 

Después sí, hacés la recta y obtenés la ordenada al origen. Y ese punto de la ordenada al origen, que siempre tiene coordenada x=0, va a ser el punto que vas a usar para podés despejar aa de la formula de la cuadrática.
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Martina
24 de abril 18:02
holi, pregunta ¿como te das cuenta de que el 3 es el Xv? osea como llegas a esa conclusion?
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Gabriela
25 de abril 18:04
@Martina es una regla, cuando a>0, el intervalo de crecimiento es (xv,+∞)
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Julieta
PROFE
27 de abril 6:27
@Martina ¡Hola Martu! Eso lo vemos en el video de funciones cuadráticas, es muuuuy importante que lo sepas. En este tipo de estructura de función cuadrática sale de la fórmula, pero en las otras no.

Y lo que dijo Gabi, está perfecto también, y es para plantear los intervalos de crecimiento en f.cuadráticas :D
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